۱- آیا دو مربع زیر متشابه اند؟ اندازه‌ی ضلع‌ها و زاویه‌های هر کدام را بنویسید. چه رابطه‌ای بین ضلع‌ها و زاویه‌های دو شکل وجود دارد؟
آیا می‌توان گفت هر دو مربع دلخواه با هم متشابه‌اند؟ چرا؟
پاسخ تشریحی:
برای تشابه دو شکل هندسی، دو شرط باید برقرار باشد:
۱. زاویه‌های متناظر با هم برابر باشند.
۲. نسبت اضلاع متناظر مقداری ثابت باشد (اضلاع متناسب باشند).
**بررسی دو مربع در شکل:**
* **مربع بزرگ (سبز):** طول هر ضلع ۴ واحد و اندازه‌ی هر زاویه $۹۰^\circ$ است.
* **مربع کوچک (نارنجی):** طول هر ضلع ۲ واحد و اندازه‌ی هر زاویه $۹۰^\circ$ است.
**آیا این دو مربع متشابه‌اند؟ بله.**
* **رابطه‌ی زاویه‌ها:** تمام زوایای هر دو مربع $۹۰^\circ$ هستند، پس شرط اول (برابری زوایای متناظر) برقرار است.
* **رابطه‌ی ضلع‌ها:** نسبت اضلاع متناظر در این دو مربع برابر است با:
$ \frac{\text{ضلع مربع بزرگ}}{\text{ضلع مربع کوچک}} = \frac{۴}{۲} = ۲ $
چون این نسبت برای تمام اضلاع ثابت است، شرط دوم نیز برقرار است.
---
**آیا هر دو مربع دلخواه با هم متشابه‌اند؟ بله.**
* **چرا؟** زیرا برای هر دو مربع دلخواه، هر دو شرط تشابه همیشه برقرار است:
۱. تمام زوایای هر مربعی $۹۰^\circ$ است، پس زاویه‌های متناظرشان همیشه با هم برابرند.
۲. اگر طول ضلع یک مربع $a$ و طول ضلع مربع دیگر $b$ باشد، نسبت تمام اضلاع متناظر آنها همواره برابر با $ \frac{a}{b} $ خواهد بود که مقداری ثابت است.
چون این دو شرط همیشه برای هر دو مربعی برقرار است، پس **همه‌ی مربع‌ها با هم متشابه‌اند**.
۲- از مستطیل‌های زیر کدام با هم متشابه‌اند؟ چرا؟
آیا هر دو مستطیل دلخواه با هم متشابه‌اند؟
پاسخ تشریحی:
برای تشابه مستطیل‌ها، دو شرط باید برقرار باشد: ۱) زوایای متناظر برابر باشند. ۲) نسبت اضلاع متناظر ثابت باشد.
**بررسی شرط اول (زوایا):**
تمام زوایای هر مستطیلی $۹۰^\circ$ است، پس شرط اول همیشه برای هر دو مستطیلی برقرار است.
**بررسی شرط دوم (نسبت اضلاع):**
باید نسبت طول به عرض در مستطیل‌ها یکسان باشد.
* **مستطیل ۱:** ابعاد $ ۸ \times ۲ $. نسبت طول به عرض: $ \frac{۸}{۲} = ۴ $
* **مستطیل ۲:** ابعاد $ ۴ \times ۲ $. نسبت طول به عرض: $ \frac{۴}{۲} = ۲ $
* **مستطیل ۳:** ابعاد $ ۴ \times ۱ $. نسبت طول به عرض: $ \frac{۴}{۱} = ۴ $
**کدام متشابه‌اند؟**
مستطیل‌های **۱ و ۳** با یکدیگر متشابه هستند.
* **چرا؟** زیرا نسبت طول به عرض در هر دوی آنها برابر **۴** است. (می‌توانیم نسبت تشابه را نیز بررسی کنیم: $ \frac{\text{طول ۱}}{\text{طول ۳}} = \frac{۸}{۴} = ۲ $ و $ \frac{\text{عرض ۱}}{\text{عرض ۳}} = \frac{۲}{۱} = ۲ $. چون نسبت‌ها ثابت است، متشابه‌اند.)
---
**آیا هر دو مستطیل دلخواه با هم متشابه‌اند؟**
**خیر**.
* **چرا؟** همانطور که در بالا دیدیم، مستطیل ۲ با دو مستطیل دیگر متشابه نیست، زیرا نسبت طول به عرض آن ($۲$) با نسبت طول به عرض دو مستطیل دیگر ($۴$) متفاوت است. پس برای تشابه دو مستطیل، علاوه بر داشتن زوایای قائمه، باید نسبت طول به عرض آنها نیز مساوی باشد.
